Navigator

ฟิสิกส์ ม.4 ปลายเทอม1

-การเคลื่อนที่แนวตรง

และกฎของนิวตัน

เลข ม.4 ปลายเทอม 1

-เซต

-ตรรกศาสตร์

-ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

-ระบบจำนวนจริง

-เรขาคณิตวิเคราะห์

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar.jpg
Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real3.jpg


• ระบบจำนวนจริง

จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

เขียนแทนด้วย 0.5000...

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real6.jpg

เขียนแทนด้วย 0.2000...

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real7.jpg

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real8.jpg

• ระบบจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

• ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real4.jpg

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

• ระบบจำนวนเชิงซ้อน

นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้

x2 = -1

∴ x = √-1 = i

x2 = -2

∴ x = √-2 = √2 i

x2 = -3

∴ x = √-3 = √3 i

จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar2.jpg


• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1

กฎการตัดออกสำหรับการบวก

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2

กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

• การลบจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

a- b = a + (-b)

นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

• การหารจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= a(b-1)

นั่นคือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar3.jpg


บทนิยาม

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"

ตัวอย่างเช่น

x3 - 2x2 + 3x -4 = 0

4x2 + 4x +1 = 0

2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0

• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2

สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ

การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)

นั่นคือ เศษของ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real10.jpg

คือ f(c)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real10.jpg

คือ 0

แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว

นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0

ถ้า x -Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpgเป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว

(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an

(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0

ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้

1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้

f(Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpg) = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

2. นำ x - c หรือ x -

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpg

ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร

จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1

3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2

∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0

∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real12.jpg

= x2 - x - 2

x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)

= (x-1)(x-2)(x+1)

x3 - 2x2 - x + 2 = 0

(x-1)(x-2)(x+1) = 0

x = 1, 2, -1

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18

∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0

∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)

= (x-1)(x-3)(x-6)

x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0

x = 1, 3, 6

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3

∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0

= 27 - 9 - 15 - 3

= 0

∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)

= (x-3)(x+1)(x+1)

x3 - x2 - 5x - 3 = 0

(x-3)(x+1)(x+1) = 0

x = 3, -1

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30

∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0

= 16 - 12 - 34 +30

= 0

∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)

= (x-2)(2x - 5)(x+3)

2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0

(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0

x =2,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real13.jpg

, -3

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real13.jpg

,2}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 5

จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4

∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0

= -48 + 44 + 8 - 4

= 0

∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)

= (x+2)(3x-2)(2x+1)

6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0

(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0

x = -2, Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real14.jpg,Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real15.jpg


{-2, Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real15.jpgDescription: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real14.jpg}

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar5.jpg


บทนิยาม

a < b หมายถึง a น้อยกว่า b

a > b หมายถึง a มากกว่า b

• สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1.

สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

2.

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

3.

จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ

a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

4.

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

5.

สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

6.

สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม

a ≤ b

หมายถึง

a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b

a ≥ b

หมายถึง

a มากกว่าหรือเท่ากับ b

a < b < c

หมายถึง

a < b และ b < c

a ≤ b ≤ c

หมายถึง

a ≤ b และ b ≤ c

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar6.jpg


• ช่วงของจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

1. ช่วงเปิด (a, b)

(a, b) = { x | a < x < b }

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real16.jpg

2. ช่วงปิด [a, b]

[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real17.jpg

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]

(a, b] = { x | a < x ≤ b }

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real18.jpg

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)

[a, b) = { x | a ≤ x < b }

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real19.jpg

5. ช่วง (a, ∞)

(a, ∞) = { x | x > a}

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real20.jpg

 

6. ช่วง [a, ∞)

[a, ∞) = { x | x ≥ a}

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real21.jpg

7. ช่วง (-∞, a)

(-∞, a) = { x | x < a}

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real22.jpg

8. ช่วง (-∞, a]

(-∞, a] = { x | x ≤ a}

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real23.jpg

• การแก้อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว

คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง

เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น

1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12

วิธีทำ

x + 3

12

x + 3 + (-3)

12 + (-3)

x

9

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9

วิธีทำ

2x + 1

9

2x + 1 + (-1)

9 + (-1)

2x

8

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(2x)

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(8)

x

4

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5

วิธีทำ

4x - 5

2x + 5

4x - 5 + 5

2x + 5 + 5

4x

2x + 10

4x - 2x

2x + 10 - 2x

2x

10

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(2x)

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(10)

x

5

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

-------------------------------------------------------------------

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

2. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0 แล้ว จะได้ a = 0

3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0

6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

7. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

8. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

9. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

≥ 0 แล้ว จะได้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

> 0 หรือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0

10. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

≤ 0 แล้ว จะได้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

< 0 หรือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0

วิธีทำ

ถ้า (x - 3)(x - 4)

0 แล้วจะได้

x - 3

0 และ x - 4 > 0

                          x

3 และ x > 4

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real24.jpg

เมื่อ x - 3

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4

หรือ x - 3

0 และ x - 4 < 0

            

                          x

3 และ x < 4

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real25.jpg

∴                   

                     x - 3

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3

นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ

{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 5

จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0

วิธีทำ

ถ้า (x - 3)(x - 4)

0 แล้วจะได้

                  x - 3

0 และ x - 4 < 0

      

                       x

3 และ x < 4

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real26.jpg

เมื่อ x - 3

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4

หรือ x - 3

0 และ x - 4 > 0

x

3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real27.jpg

ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0

นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ

{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4)

-------------------------------------------------------------------

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้

กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว

1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b

2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b

3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b

4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b

5. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

> 0 จะได้ x < a หรือ x > b

6. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

< 0 จะได้ a < x < b

7. ถ้า

 

≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b

8. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

≤ 0 จDescription: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpgะได้ a ≤ x < b

หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real29.jpg

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar7.jpg


บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real30.jpg

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

• สมบัติของค่าสัมบูรณ์

1. |x| = |-x|

2. |xy| = |x||y|

3.

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real31.jpg

=

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real32.jpg

4. | x - y | = | y - x |

5. |x|2 = x2

6. | x + y | ≤ |x| +|y|

7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

|x| < a หมายถึง -a < x < a

|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a

8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a

|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

 

 

ผู้จัดทำ

1.นางสาวพรปรียา ล้อกาญจนรัตน์ เลขที่ 7

2.นางสาวสิริกร ดอกเทียน เลขที่ 13

3.นางสาวสุภาณี เตชะมนตรีกุล เลขที่ 16

4.นางสาวสุภิญญาด เตชะมนตรีกุล เลขที่18

5.นางสาวอาทิมา เอื้อไพบูลรัตน์ เลขที่ 21